Indicații teoretice

Acest capitol prezintă bazele teoretice ale programului: calculul împingerilor activă și pasivă, sarcini pe terasament, pânză freatică, seism, metodele LEM și FEM, tiranți și verificări. Același text este inclus în raportul de calcul.

Introducere

Pereți de sprijin sunt lucrări de inginerie civila cu aplicație larga in probleme legate de stabilizarea versanților sau sprijiniri de terenuri. Se vorbește de asemenea si despre palplanșe folosite pentru acostarea ambarcațiunilor de mari dimensiuni, sau pentru sprijinirea pereților săpăturilor sau alte excavații sau pentru realizarea de chesoane etanșe pentru lucrări subacvatice. Cum se poate deci intui trebuie acordata o mare importanta proiectării unei astfel de lucrări , mai ales când vorbim despre proiectul structural si geotehnic. In ceea ce privește calculul trebuie subliniat ca nu exista încă metode exacte de calcul, acest fapt fiind datorat si interacțiunii complexe dintre adâncimea de excavare, rigiditatea materialelor constitutive ale lucrări de susținere si rezistenta datorata presiunii pasive. In orice caz, metodele curente utilizate pot fi clasificate in doua categorii:

Metode care se bazează pe o discretizare a modelului de lucrare de susținere (vorbim de diferențe finite sau elemente finite);

Metode care se bazează pe presupuneri de tip simplist, cu scopul de a aborda problema prin simplul studiu al echilibrului unui corp rigid.

Din cele doua clase de metode expuse, cea cu elemente finite este cea mai raționala, întrucât se bazează pe considerații ce implica atât statica problemei (echilibru) cat si cinematica acesteia (congruenta).

Tipuri de palplanșe.

Tipurile de palplanșe cel mai des folosite pot fi clasificate după cum urmează:

1. Palplanșe din beton armat, construite din piloți sau peret mulați/diafragme (ambele armate);

2. Palplanșe din lemn;

3. Palplanșe din otel.

Analiza palplanșei.

Considerații preliminare.

Exista mai multe elementele care contribuie la calcularea unei lucrări de susținere. Sunt implicate concepte referitoare la flexibilitatea piloților, la calculul împingerii terasamentului, la rigiditatea terenului, etc.

Figura 1: Schema presiunilor ce acționează pe lucrarea de susținere

In figura de mai sus se observa ca presiunile laterale care contribuie la echilibru sunt presiunea activa dezvoltata in spatele palplanșei si presiunea pasiva dezvoltata in partea anterioara a lucrării de susținere (partea aval a palplanșei). Calculul împingerii in spatele si in fața (aval) palplanșei, atât in contextul metodelor simplificate cat si al celor numerice, este de obicei realizat atât cu metoda lui Rankine cat si cu metoda lui Coulomb. Se observa însă ca metoda lui Coulomb furnizează rezultate mai precise întrucât palplanșa fiind o lucrare de obicei flexibila, si manifestând deci deplasări mari, se generează fenomene de frecare la interfața structura – teren care pot fi luate in considerare doar prin intermediul coeficienților de împingere ai lui Coulomb. In utilizarea metodei elementelor finite trebuie sa se calculeze si un coeficient de reacțiune al terenului Ks, pe lângă împingerea activa si pasiva a terenului. Daca se discuta de analiza in condiții nedrenate este de asemenea necesara cunoașterea valorii coeziunii nedrenate. Este de asemenea indicat ca, dace se dorește a se tine cont in mod adecvat de frecarea dintre teren si lucrare, sa se cunoască unghiul de frecare dintre teren si structura. In concluzie parametrii (privind proprietățile terenului) de care este nevoie pentru a efectua analiza sunt:

1. Unghi de frecare interna a terenului;

2. Coeziunea terenului;

3. Greutatea vomică a terenului;

4. Unghiul de frecare dintre teren si materialul din care este executata structura.

Calculul împingerilor.

După cum a fost menționat in unul di paragrafele precedente, calculul împingerii active si pasive trebuie efectuat in oricare dintre cazuri. In aceasta secțiune este prezentat calculul împingerilor cu metoda lui Coulomb.

Calculul împingerii active.

Împingerea activa poate fi calculata cu metoda lui Coulomb sau cu teoria lui Caquot.

Metoda lui Coulomb

Metoda lui Coulomb reușește sa tina cont de variabilele cele mai semnificative, in special in ceea ce privește fenomenul de frecare care se generează la interfața structura-teren. Pentru teren omogen si uscat diagrama presiunilor este liniara cu următoarea distribuție (calculata la adâncimea z):

Împingerea totala, care este integrala ecuației anterioare pe toata înălțimea, se aplica la 1/3 din H si se calculează cu următoarea relație:

Fiind indicat cu ka valoarea coeficientului de presiune activa, ce poate fi calculat cu următoarea formula:

γ_t = Greutatea volumică a terenului;

β = Inclinația fetei interne fata de planul orizontal ce trece prin talpa;

φ = Unghi de rezistenta la forfecare al terenului;

δ = Unghi de frecare teren- structura pozitiv in sens invers acelor de ceasornic;

ε = Inclinația terenului fata de planul orizontal pozitiva in sens invers acelor de ceasornic;

Metoda lui Caquot

Metoda lui Coulomb este o metoda suficient de precisa pentru calcularea coeficienților de presiune la stare limita. Cu toate acestea are un punct slab in ceea ce privește ipoteza referitoare la planeitatea suprafeței de alunecare. Aceasta ipoteza este înlăturata aplicând teoria lui Caquot care se bazează pe utilizarea unei suprafețe de alunecare in forma de spirala logaritmica. Conform acestei teorii coeficientul de presiune activa se determina utilizând următoarea formula:

Unde: - K_a^Coulomb este coeficientul de presiune activa calculat cu teoria lui Coulomb; - ρ este un coeficient multiplicativ calculat cu formula:

Iar:

Simbolurile folosite sunt (vezi si figura de mai jos): - inclinația profilului amonte măsurata fata de orizontala; - unghiul de frecare interna al terenului care realizează împingerea; -

unghiul de frecare la interfața lucrare-teren;

Figura 2: Convenție folosita pentru calculul coeficientului de presiune conform teoriei lui Caquot

Sarcina uniforma pe terasament

O sarcina Q, uniform distribuita pe teren, induce presiuni constante egale cu:

Integrând tensiunea din formula precedenta se obține o împingere totala datorata suprasarcinii:

Cu punct de aplicare la H/2 (cu distribuția constanta a tensiunilor). Simbolurile utilizate in formulele precedente sunt:

β= Inclinația fetei interne fata de planul orizontal care trece prin talpa

ε= Inclinația terenului fata de planul orizontal, pozitiva in sens invers acelor de ceasornic

k_a= Coeficient de presiune activa calculat la paragraful precedent

Fâșie de sarcina pe teren inclinat

Sarcina ce acționează pe teren este descompusa într-o sarcina ortogonala si o sarcina tangențiala la terasament, presiunile induse pe perete vor fi calculate conform următoarelor doua paragrafe.

Fâșie de sarcina ortogonala la planul de acțiune

O sarcina repartizata in mod parțial de abscisa inițiala x1 si abscisa finala x2 generează o diagrama de presiuni pe perete, a cărei valori au fost determinate conform formulării lui Terzaghi, care exprima presiunea la adâncimea generala z după cum urmează:

Cu:

Δθ=θ₁-θ₂;

A=sen(2θ₁)-sen(2θ₂)

B=cos(2θ₁)-cos(2θ₂)

θ₁=arctg(z/x₁)

θ₂=arctg(z/x₂)

Prin integrare se va obține rezultanta si brațul aferent.

Fâșie de sarcina tangențiala la planul terenului

T= Intensitatea de sarcina [F/L²]

D= 4×log[senθ₁/senθ₂]

E= sen²θ₁-sen²θ₂

Linii de sarcina pe terasament

Liniile de sarcina generează un increment de presiuni pe perete care, conform BOUSSINESQ, la adâncimea z, pot fi exprimate după cum urmează:

Unde:

V = Intensitatea sarcinii exprimata in [F/L];

X = Distanta, in proiecție orizontala, a punctului de aplicare a sarcinii perete;

Daca planul de acțiune este inclinat cu ε este rotit sistemul de referința xz in XZ, prin următoarea transformare:

Împingerea in prezenta pânzei freatice

Panza freatica aflata la distanța Hw de la baza structurii induce presiuni hidrostatice normale peretelui care, la adâncimea z, sunt exprimate ca:

Împingerea hidrostatica totala se obține prin integrare pe toata înălțimea a relației precedente:

Având indicat cu H înălțimea totala de împingere si cu γw greutatea volumică a apei, împingerea terenului imers se obține înlocuind γ_t cu γ_'t (γ'_t = γsaturat - γ_w), greutatea specifica a materialului imers in apa. In condiții seismice supraimpingerea exercitata de apa este calculata după cum urmează:

aplicata la 2/3 din înălțimea pânzei freatice H_w [Matsuo O'Hara (1960) Geotecnica , R. Lancellotta]

Efectul datorat prezentei coeziunii

Coeziunea induce presiuni negative constante egale cu:

Nefiind posibila stabilirea apriori a decrementului indus de împingerea datorata coeziunii, a fost calculata înălțimea critica Zc după cum urmează:

Unde

Q= Sarcina ce acționează pe un eventual prezent terasament

γ_t = Greutatea volumică a terenului

β = Inclinația peretelui intern fata de planul orizontal ce trece prin talpa

ε = Inclinația terenului fata de planul orizontal, pozitiva in sens invers acelor de ceasornic

C= Coeziunea materialului

ka= Coeficient de presiune activa, calculat anterior

In cazul in care Zc, calculat cu formula anterioara, este mai mic decât zero se poate suprapune direct efectele diagramelor, impunând un decrement diagramei de împingere inițiale calculat ca:

Unde H este înălțimea totala a împingerii.

Seism

Împingerea activa in condiții seismice

In prezenta seismului forța de calcul exercitata de terasament pe structura este data de:

Unde:

H= înălțimea perete

kv= coeficient seismic vertical

γ= greutatea volumică a terenului

K= coeficienți de împingere activa totala (static + dinamic) (vezi Mononobe & Okabe)

Ews= împingerea hidrostatică a apei

Ewd= împingerea hidrodinamica.

Pentru terenuri impermeabile împingerea hidrodinamica Ewd = 0, dar se efectuează o corecție pentru calculul unghiului a formulei Mononobe & Okabe după cum urmează:

In terenurile cu permeabilitate ridicata in condiții dinamice este valabila corecția de mai sus, dar împingerea hidrodinamica ia următoarea expresie:

Cu H’ înălțimea nivelului freatic (regăsita in secțiunea aferenta calculului împingerii hidrostatice).

Rezistenta pasiva

Si pentru calculul rezistentei pasive se pot utiliza cele doua metode folosite in calculul presiunii la stare limita activa (metoda Coulomb si metoda Caquot).

Metoda lui Coulomb

Pentru teren omogen diagrama presiunilor in condiții de stare limita pasiva rezulta liniara cu lege de tipul:

Integrând încă o data formula precedenta pe înălțimea împingerii (care pentru palplanșe trebuie calculata foarte atent) se obține împingerea pasiva totala:

Fiind indicat de obicei cu H înălțimea de împingere, greutatea volumică a terenului si cu kp coeficientul de presiune pasiva (in condiții de stare limita pasiva). Valoarea acestui coeficient este determinata cu formula:

cu valori limita egale cu:δ\< β-φ-ε (Muller-Breslau).

Metoda lui Caquot

Metoda lui Caquot diferă de metoda lui Coulomb prin calculul coeficientului de presiune la stare limita pasiva. Coeficientul de presiune pasiva este calculat, cu aceasta metoda, interpolând valorile următorului tabel:

Coeficientul de împingere pasivă K_p pentru δ = −φ

α [°]	φ [°]	Kp pentru β = 0°	5°	10°	15°	20°	25°	30°	35°	40°	45°
-30	10	1,17	1,41	1,53
	15	1,39	1,70	1,92	2,06
	20	1,71	2,06	2,42	2,71	2,92
	25	2,14	2,61	2,96	3,66	4,22	4,43
	30	2,78	3,42	4,16	5,01	5,96	6,94	7,40
	35	3,75	4,73	5,87	7,21	8,76	10,60	12,50	13,60
	40	5,31	6,87	8,77	11,00	13,70	17,20	24,60	25,40	28,40
	45	8,05	10,70	14,20	18,40	23,80	30,50	38,90	49,10	60,70	69,10
-20	10	1,36	1,58	1,70
	15	1,68	1,97	2,20	2,38
	20	2,13	2,52	2,92	3,22	3,51
	25	2,78	3,34	3,99	4,60	5,29	5,57
	30	3,78	4,61	5,56	6,61	7,84	9,12	9,77
	35	5,36	6,69	8,26	10,10	12,20	14,80	17,40	19,00
	40	8,07	10,40	12,00	16,50	20,00	25,50	36,50	37,80	42,20
	45	13,20	17,50	22,90	29,80	38,30	48,90	62,30	78,80	97,30	111,00
-10	10	1,52	1,72	1,83
	15	1,95	2,23	2,57	2,66
	20	2,57	2,98	3,42	3,75	4,09
	25	3,50	4,14	4,90	5,62	6,45	6,81
	30	4,98	6,01	7,19	8,51	10,10	11,70	12,60
	35	7,47	9,24	11,30	13,80	16,70	20,10	23,70	26,00
	40	12,00	15,40	19,40	24,10	29,80	37,10	53,20	55,10	61,60
	45	21,20	27,90	36,50	47,20	60,60	77,30	98,20	124,00	153,00	176,00
0	10	1,64	1,81	1,93
	15	2,19	2,46	2,73	2,91
	20	3,01	3,44	3,91	4,42	4,66
	25	4,29	5,02	5,81	6,72	7,71	8,16
	30	6,42	7,69	9,13	10,80	12,70	14,80	15,90
	35	10,20	12,60	15,30	18,60	22,30	26,90	31,70	34,90
	40	17,50	22,30	28,00	34,80	42,90	53,30	76,40	79,10	88,70
	45	33,50	44,10	57,40	74,10	94,70	120,00	153,00	174,00	240,00	275,00
10	10	1,73	1,87	1,98
	15	2,40	2,65	2,93	3,12
	20	3,45	3,90	4,40	4,96	5,23
	25	5,17	5,99	6,90	7,95	9,11	9,67
	30	8,17	9,69	11,40	13,50	15,90	18,50	19,90
	35	13,80	16,90	20,50	24,80	29,80	35,80	42,30	46,60
	40	25,50	32,20	40,40	49,90	61,70	76,40	110,00	113,00	127,00
	45	52,90	69,40	90,00	116,00	148,00	188,00	239,00	303,00	375,00	431,00
20	10	1,78	1,89	2,01
	15	2,58	2,82	3,11	3,30
	20	3,90	4,38	4,92	5,53	5,83
	25	6,18	7,12	8,17	9,39	10,70	11,40
	30	10,40	12,30	14,40	16,90	20,00	23,20	25,00
	35	18,70	22,80	27,60	33,30	40,00	48,00	56,80	62,50
	40	37,20	46,90	58,60	72,50	89,30	111,00	158,00	164,00	185,00
	45	84,00	110,00	143,00	184,00	234,00	297,00	378,00	478,00	592,00	680,00

Tabel: Calcularea coeficientului de presiune pasiva cu teoria lui Caquot

Sarcina uniforma pe terasament

Rezistenta indusa de o sarcina uniforma distribuita este:

Cu punct de aplicare egal cu H/2 (diagrama tensiunilor orizontale constanta pe toata înălțimea). In formula precedenta k_p este coeficientul de împingere pasiva calculat la paragraful anterior.

Coeziunea

Coeziunea determina un increment de rezistenta egal cu

Acest increment se însumează direct diagramei principale de împingere.

Metoda echilibrului limita (LEM)

Metoda echilibrului limita consta in căutarea de soluții la problema de verificare sau de proiectare, care sunt compatibile doar cu aspectul static al problemei. In principiu se raționează in termeni de echilibru al unui corp rigid, fără a acorda atenție congruentei cinematice a deplasărilor. Principalele scheme de calcul la care se face referința sunt următoarele:

1. Palplanșa in consola;

2. Palplanșa ancorata cu extrema libera;

3. Palplanșa ancorata cu extrema fixa;

Palplanșa in consola: calculul adâncimii limita de incastrare

Pentru palplanșa/lucrarea de susținere neancorata, stabilitatea este asigurata de rezistenta pasiva a terenului aval de aceasta. Din echilibrul momentelor fata de centrul de rotație se obține:

Unde:

S_m= componenta orizontala a împingerii active;

B_m= brațul lui S_m fata de O centru de rotație;

R_v= componenta orizontala a rezistentei pasive;

B_v= brațul lui R_v fata de O centru de rotație;

fiecare termen rezulta in funcție de t unde t este adâncimea centrului de rotație fata de planul de referința aval (planul terenului aval). Lungimea necesara pentru a asigura echilibrul la translație orizontala se obține crescând t după cum urmează:

Figura 3: Schema de referința pentru calculul echilibrului palplanșei

Coeficientul de siguranța la rezistenta pasiva

Lungimea de incastrare d determinata ca mai sus este relativa condiției limita de colaps incipient, prin intermediul unui coeficient F. Se poate introduce o marja de siguranță pentru rezistentele pasive. Reducerea se efectuează după cum urmează:

Palplanșa ancorata cu extrema libera: calculul adâncimii limita de incastrare

Stabilitatea structurii este asigurata si de tiranții ancorați pe lucrarea de susținere. Pentru a utiliza schema de calcul cu extrema libera, palplanșa trebuie sa fie suficient de scurta si rigida. Lungimea de incastrare va fi determinata prin impunerea echilibrului la rotație pe originea tirantului indicat cu B1

Unde:

S_m= componenta orizontala a împingerii active;

H= înălțimea terenului de susținut;

t= adâncimea de incastrare calculata;

B_m= brațul lui S_m fata de baza lucrări i de susținere;

P_m= ordonata punctului de aplicare al tirantului amonte;

R_v= componenta orizontala a rezistentei pasive;

B_v = brațul lui R_v.

Cunoscut t, se determina S_m si R_v si efortul tirantului aferent.

Coeficientul de siguranță F la rezistente pasive

Lungimea de incastrare va fi crescuta ulterior pentru a avea o marja de siguranță in condiții de exploatare prin intermediul coeficientului de siguranță F:

Palplanșa ancorata cu extrema fixa: calculul adâncimii limita de incastrare

Daca secțiunea cea mai adânca a lucrări i de susținere nu se deplasează si nu se rotește poate fi asimilata cu incastrarea, in acest caz palplanșa se definește cu o extrema fixa. O procedura elaborata de BLUM permite aflarea adâncimii de incastrare (t+t'), impunând condițiile cinematice de deplasări nule la baza structurii si la originea tirantului (B1), si condițiile statice de moment si forfecare nule la baza lucrări i de susținere. Se ajunge astfel la o ecuație de grad 5 in (t+t') care poate fi ușor rezolvata.

Coeficient de siguranță F la rezistente

Pentru a creste factorul de siguranță au fost introduse, in dezvoltările numerice, valori ale rezistentelor pasive reduse.

Metoda elementelor finite (FEM)

Metoda elementelor finite este metoda care, mai mult decât oricare altele, se bazează pe fundamente solide si raționale. De fapt, toata metoda presupune ca problema sa fie abordata ținând cont fie de aspectul static (si deci echilibrul limita al problemei) fie de aspectul cinematic (si deci congruenta deplasărilor sau a deformațiilor). In aceasta abordare lucrarea de susținere este modelata ca un grup de grinzi, cu legătura de continuitate intre ele (elemente beam) legate de teren prin intermediul unor arcuri elastice, a căror rigiditate este calculata in funcții de proprietățile elastice ale terenului. In figura de mai jos este arătat schematic modelul utilizat pentru analiza cu elemente finite:

Figura 4: Schema lucrării de susținere cu elemente finite

Diverse aspecte au importanta centrala in aceasta metoda de calcul. Redam mai jos aspectele esențiale.

Calculul modulului de rigiditate Ks al terenului

După cum am mai amintit anterior, terenul este schematizat cu arcuri de rigiditate Ks aplicate pe nodurile fâșiilor cuprinse intre nodul de la baza excavației si extremitatea de incastrare. Calculul rigidității Ks a fost efectuat pe baza capacitații portante a fundațiilor conform formulei:

Unde:

As= constanta, calculata ca As=C′(c′Nc+0.5′G′B′Ng)

Bs= coeficient funcții de adâncime Bs=C′G′Nq

Z= adâncimea de calcul

C= 40 in sistemul internațional SI

n= π′tanφ

Nq= exp[n′(tan²(45° + φ/2)]

Nc= (Nq-1)′cotφ

Ng= 1.5′(Nq-1)′tanφ

Tiranți

Tiranții sunt schematizați ca elemente elastice, cu secțiune transversala de arie A, modul de elasticitate E si lungime L. Pentru un segment de palplanșa de lungime unitara, acțiunea tiranților inclinați cu un unghi β este:

Sifonare

Sifonarea este un fenomen care in faza inițiala se localizează la baza lucrări i de susținere, iar apoi se extinde rapid in jurul volumului rezistent. Apare când, datorita unei ridicate presiunii hidrodinamice sau de infiltrație, se anulează presiunile pasive efective, cu pierderea consecventa de rezistenta a terenului. Se ia, de obicei, un factor de siguranță Fsif=3.5-4 Indicând cu:

i_c = Gradient hidraulic critic;

i_e = Gradient hidraulic in condiții de exploatare;

Marja de siguranță este definita ca raport intre ic si ie, daca ie \< ic lucrarea de susținere este stabila.

Verificarea secțiunilor si calculul armaturilor

Calculul armaturilor si verificările la preso-flexiune si forfecare ale lucrării de susținere supusa la solicitări N, M si T se efectuează pentru toate secțiunile de calcul. Solicitările sunt obținute ca produs intre solicitările obținute cu un calcul la metru liniar si interaxul intre piloți (sau lățimea diafragmelor / pereților mulați daca lucrarea de susținere este constituita din astfel de elemente):

Unde M', M', T' reprezintă momentul, forfecarea si efortul normal relative unei fâșii unitare de calcul in timp ce i este interaxul intre piloți pentru lucrarea de susținere formata din piloți sau micropiloți (sau lățimea pereților mulați / diafragmei pentru lucrarea de susținere formata din astfel de elemente).

Semiproiectul armaturilor este realizat la stări limita ultime conform Eurocodurilor.